Internet Explorer 7以降では、既定でクリップボードへのアクセス時にダイアログが表示されます。Internet Explorer 7 におけるクリップボードへのスクリプト アクセスの既定のセキュリティ設定の強化 | MSDN
Internet Explorer 11では、「この Web ページがクリップボードへアクセスすることを許可しますか?」「これを許可した場合、Web ページはクリップボードへのアクセスが可能になり、最近行った切り取りやコピーの情報を読み取ることができます。」の文言で、許可するかどうか尋ねられます。このダイアログを表示するかどうか、または有効、無効の設定は、インターネット オプションの[セキュリティ]タブの[スクリプトによる貼り付け処理の許可]で変更できます。
execCommand()がサポートされる環境では、これにより簡単に実装できます。ブラウザ実装状況 - document.execCommand - Web API インターフェイス | MDN
execCommand()実行時に選択されている範囲が、クリップボードへコピーされます。
var result = document.execCommand( 'copy' );
[copy]をクリックすると、クリップボードにテキストがコピーされます。
下のテキストボックスに貼り付けて、クリップボードの内容を確認できます。
execCommand()実行時に選択されている位置に、クリップボードから貼り付けられます。
var result = document.execCommand( 'paste' );
[paste]をクリックすると、テキストボックスにクリップボードの内容が貼り付けられます。