Firefoxはオープンソースであるため、それを基に独自にビルドした改変版が存在します。
最適化・非公式ビルド - Mozilla Firefox まとめサイト開発者向けのバージョンです。
Developer Edition - Mozilla | MDN
Release Notes新機能の追加を遅らせセキュリティだけを修正する、安定性を重視したバージョンです。
Mozilla Firefox Web Browser — Download Firefox Extended Support Release in your language — Mozilla
セットアップのオプションに[Firefox バックグラウンドアップデートサービス]というものがありますが、これはMozilla Maintenance Serviceのことで、使用しないならばインストールする必要もありません。
自動更新が有効になっているならば、更新は自動で行われます。この自動更新の設定は、オプションの[詳細 → 更新]にあります。更新タブ - 詳細パネル - Firefox のアクセシビリティ、ブラウジング、ネットワーク、更新、その他の詳細設定 | Firefox ヘルプ
手動で更新するならば、メニューの【ヘルプ → Firefoxについて】を開きます。
またはFirefox のダウンロードからセットアップをダウンロードし、上書きインストールします。
オプションから更新の設定を変更できない場合には、about:configから次の項目を設定します。
更新時にUACを表示させないためのサービス (maintenanceservice.exe) です。これはオプションの[詳細 → 更新]で、[更新のインストールにバックグラウンドサービスを使用する]のチェックを外すことで無効化できます。Mozilla Maintenance Service とは? | Mozilla サポート
これを無効にすると、権限を持たないユーザーの利用中に更新が見つかったときに「セキュリティと安定性を向上する更新が見つかりましたが、ソフトウェアをインストールする権限がありません。」として更新に失敗します。このときにはFirefox のダウンロードから最新版をダウンロードして、手動で更新します。
Linuxでは更新の方法が異なります。たとえばUbuntuでは、他のツールと同様にソフトウェアの更新から行います。
重要な情報はすべてプロファイルに記録されているため、そのデータをコピーすることで環境を再現できます。